分数裂项求和是一种特殊的数列求和技巧，它通常用于处理形如
\\frac{1}{n(n+1)}
n(n+1)
1
、
\\frac{1}{n(n+k)}
n(n+k)
1
等分数序列的求和。
对于形如
\\frac{1}{n(n+1)}
n(n+1)
1
的序列，裂项求和的基本公式是：
\\frac{1}{n(n+1)} = \\frac{1}{n} - \\frac{1}{n+1}
n(n+1)
1
=
n
1
−
n+1
1
这个公式是通过找两个分数的公共分母，然后进行通分，最后化简得到的。
对于更一般的形式
\\frac{1}{n(n+k)}
n(n+k)
1
，裂项求和的公式会有所不同，但基本思路是类似的。
当需要求三项的和时，可以分别应用裂项公式，然后求和。例如，考虑序列的前三项：
\\frac{1}{1 \\times 2} + \\frac{1}{2 \\times 3} + \\frac{1}{3 \\times 4}
1×2
1
+
2×3
1
+
3×4
1
应用裂项公式，得到：
= (1 - \\frac{1}{2}) + (\\frac{1}{2} - \\frac{1}{3}) + (\\frac{1}{3} - \\frac{1}{4})
=(1−
2
1
)+(
2
1
−
3
1
)+(
3
1
−
4
1
)
观察上式，可以发现从第二项开始，每一项的前半部分都会与前一项的后半部分相消，只留下首项的1和末项的
-\\frac{1}{4}
−
4
1
。
因此，求和结果为：
= 1 - \\frac{1}{4} = \\frac{3}{4}
=1−
4
1
=
4
3
这就是分数裂项三项求和的基本方法。对于更长的序列，可以依此类推，通过裂项和相消来简化求和过程。
分数的起源可以追溯到古埃及。在约公元前2000年左右，埃及人开始使用类似分数的符号系统来表示分割和计量。他们采用分数的形式来记录和计数物品，以及在建筑、土地测量和商业交易中进行计算。
然而，分数的基本概念在古希腊时期得到了进一步的发展和形式化。希腊数学家提出了分数的几何解释和分数比较的方法，如皮提亚斯和欧几里得对分数的研究对后来的数学发展产生了重要影响。
因此，尽管分数的起源可以追溯到古埃及，但它的发展和形式化主要发生在古希腊。后来，分数的概念在世界各地的数学和文化中得到了广泛应用和进一步发展。